Bruno Streule hat nach seiner Ausbildung zum Koch das kaufmännische Handelsdiplom, den Fachausweis Marketingplaner und den Ausweis zum diplomierten Verkaufsleiter erlangt. Zudem hat er zahlreiche Weiterbildungen in Führung, Kommunikation und Management absolviert und einen Executive Master of Business Administration abgeschlossen. Bruno Streule hatte Stellen in der öffentlichen Verwaltung, dem Gesundheitswesen, dem Bildungswesen, dem Detailhandel und der Nahrungsmittelindustrie inne. So war er unter anderem Leiter der Bezirksverwaltung des Bezirks Schwende-Rüte. Seit 2023 ist er als Vorsitzender der Geschäftsleitung des Kantonalen Gesundheitszentrums Appenzell tätig und in dieser Funktion für die Führung der öffentlich-rechtlichen Institution sowie die Zusammenarbeit mit den politischen Entscheidungsgremien zuständig.

Neben seiner beruflichen Tätigkeit war Bruno Streule von 2021 bis 2024 Mitglied des Grossen Rates des Kantons Appenzell Innerrhoden. Er wohnt mit seiner Familie in Brülisau.

Der Regierungsrat wählte ihn per 1. November 2026 zum Nachfolger von Franz Bach als Leiter des Amts für Gesundheit.